English+GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Schwerer Kreisel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Schwerer Kreisel</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Kreiseltheorie" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie</a> ist der schwere Kreisel ein <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>, bei dem ein auf ihn einwirkendes äußeres <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmoment</a> von seiner <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> herrührt<a href="#cite_note-1">[1]</a>. Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschließlich dem schweren Kreisel mit Stützpunkt gewidmet. In das Auffinden exakter Lösungen der Bewegungsgleichungen in Form der <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a> wurde und wird viel Aufwand gesteckt.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Durch die auf der Erde allgegenwärtige <a href="Schwerkraft" class="mw-redirect" title="Schwerkraft">Schwerkraft</a> bekommen die schweren Kreisel eine besondere Relevanz.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schweremoment_und_Drehimpuls">Schweremoment und Drehimpuls</h2></div>

Das Schweremoment berechnet sich aus dem <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a> × des Hebelarms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {s}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57ce74ecbbc0e198d0bb4b1b2ffc0cb9669b72e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {s}}}" loading="lazy"> vom Stützpunkt zum Massenmittelpunkt mit der Gewichtskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {G}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {G}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/241bb14fd31373ea9f4a602cc59e4ec1da27b10b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {G}}}" loading="lazy"> zu

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {s}}\times {\vec {G}}={\vec {s}}\times (-mg{\hat {e}}_{z})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f107ada83b43f9ea634eaafe96cc736f9ff3669d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.66ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {s}}\times {\vec {G}}={\vec {s}}\times (-mg{\hat {e}}_{z})}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist

<ul><li>m die Masse,</li>

<li>g die <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerebeschleunigung</a> und</li>

<li>êz der antiparallel zur Gewichtskraft nach oben weisende <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektor</a>.</li></ul>

Das Moment ist somit senkrecht zur Gewichtskraft horizontal orientiert und ist nach dem <a href="Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a> gleich der Geschwindigkeit des Endpunkts des <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulses</a>. Dessen Endpunkt bewegt sich daher beim schweren Kreisel mit Stützpunkt in einer horizontalen Ebene, deren Abstand zum Stützpunkt ein Integral der Bewegung ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Integrale_der_Bewegung">Integrale der Bewegung</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Integral_der_Bewegung" title="Integral der Bewegung">Integral der Bewegung</a></div>

Bei jedem schweren Kreisel mit Stützpunkt ist die Norm der <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a>, der Drehimpuls in Lotrichtung und die <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a> E konstant. Die Konstanten werden in der Kreiseltheorie Integrale genannt, die ersten beiden auch <a href="Casimir-Invariante" class="mw-redirect" title="Casimir-Invariante">Casimir-Invarianten</a>. Das zweite Integral Lz wird nach dem <a href="Drallsatz#Flächensatz" title="Drallsatz">Drall- oder Flächensatz</a> auch Drall- bzw. Flächenintegral genannt. Die Gesamtenergie ist wegen des <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatzes</a> konstant, siehe <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bewegungsgleichungen">Bewegungsgleichungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eulersche_Kreiselgleichungen">Eulersche Kreiselgleichungen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Eulersche_Gleichungen_(Kreiseltheorie)" title="Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)">Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)</a></div>

Wird das Schweremoment in die Eulerschen Kreiselgleichungen eingesetzt, entsteht

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}+(\Theta _{3}-\Theta _{2})\omega _{2}\omega _{3}={\dot {L}}_{1}+\left({\frac {1}{\Theta _{2}}}-{\frac {1}{\Theta _{3}}}\right)L_{2}L_{3}=&mg(n_{2}s_{3}-n_{3}s_{2})\\\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}+(\Theta _{1}-\Theta _{3})\omega _{3}\omega _{1}={\dot {L}}_{2}+\left({\frac {1}{\Theta _{3}}}-{\frac {1}{\Theta _{1}}}\right)L_{3}L_{1}=&mg(n_{3}s_{1}-n_{1}s_{3})\\\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}+(\Theta _{2}-\Theta _{1})\omega _{1}\omega _{2}={\dot {L}}_{3}+\left({\frac {1}{\Theta _{1}}}-{\frac {1}{\Theta _{2}}}\right)L_{1}L_{2}=&mg(n_{1}s_{2}-n_{2}s_{1})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e91fbd62100da9a024149e76a651450c21b1761.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.671ex; width:71.671ex; height:18.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}+(\Theta _{3}-\Theta _{2})\omega _{2}\omega _{3}={\dot {L}}_{1}+\left({\frac {1}{\Theta _{2}}}-{\frac {1}{\Theta _{3}}}\right)L_{2}L_{3}=&mg(n_{2}s_{3}-n_{3}s_{2})\\\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}+(\Theta _{1}-\Theta _{3})\omega _{3}\omega _{1}={\dot {L}}_{2}+\left({\frac {1}{\Theta _{3}}}-{\frac {1}{\Theta _{1}}}\right)L_{3}L_{1}=&mg(n_{3}s_{1}-n_{1}s_{3})\\\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}+(\Theta _{2}-\Theta _{1})\omega _{1}\omega _{2}={\dot {L}}_{3}+\left({\frac {1}{\Theta _{1}}}-{\frac {1}{\Theta _{2}}}\right)L_{1}L_{2}=&mg(n_{1}s_{2}-n_{2}s_{1})\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der <a href="%C3%9Cberpunkt#Als_wissenschaftliches_Symbol" title="Überpunkt">Überpunkt</a> bildet die <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a>, mg ist die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> und für k = 1,2,3 ist jeweils

<ul><li>ωk die Komponente der <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a>,</li>

<li>Lk die Komponente des <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulses</a>,</li>

<li>sk die Komponente des Massenmittelpunkts,</li>

<li>nk der <a href="Richtungskosinus" title="Richtungskosinus">Richtungskosinus</a> des Einheitsvektors êz und</li>

<li>Θk ein <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmoment</a> des Kreisels</li></ul>

im Hauptachsensystem. Häufig werden

<ul><li>die Hauptträgheitsmomente Θ1,2,3 mit A, B bzw. C,</li>

<li>die Winkelgeschwindigkeiten ω1,2,3 mit p, q bzw. r und</li>

<li>die Komponenten n1,2,3 mit γ1,2,3 oder γ, γ', γ", gelegentlich auch mit umgekehrtem Vorzeichen</li></ul>

bezeichnet.

Die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen sowie die Richtungskosinus können mit den <a href="Eulersche_Winkel" title="Eulersche Winkel">Euler- oder Kardan-Winkeln</a> ausgedrückt werden, siehe z. B. <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Euler-Winkel in der Kreiseltheorie</a>, was auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den drei Winkeln führt<a href="#cite_note-3">[3]</a>.

Alternativ können die Richtungskosinus als eigenständige Unbekannte eingeführt werden, was die <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a> ergibt, die ein System aus sechs Differentialgleichungen erster Ordnung sind.

<a href="Wilhelm_Hess_(Mathematiker)" title="Wilhelm Hess (Mathematiker)">Wilhelm Hess</a> konnte 1890 die <a href="#Integrale_der_Bewegung">#Integrale der Bewegung</a> nutzen, um die Richtungskosinus mit dem Drehimpuls auszudrücken, was drei Differentialgleichungen für den Drehimpuls ergibt, siehe <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrischer_schwerer_Kreisel">Symmetrischer schwerer Kreisel</h3></div>

Wenn beim <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischen Kreisel</a> vorrangig die Figurenachse ê3 interessiert und der Massenmittelpunkt auf ihr liegt, gelten bezüglich des Massenmittelpunkts die koordinatenunabhängigen Vektorgleichungen<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<mtr>

<mtd>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {L}}}=&s{\hat {e}}_{3}\times (-mg{\hat {e}}_{z})\\{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18329b1a09944042a7465d0e654a2e91a89df073.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.894ex; margin-bottom: -0.277ex; width:20.894ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {L}}}=&s{\hat {e}}_{3}\times (-mg{\hat {e}}_{z})\\{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Es ist ein System aus sechs gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung. Die hier ausgenutzte Beziehung

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50af186d56105285c9712af15d2b0e14ee960207.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.716ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist beim <a href="Symmetrischer_Kreisel#Winkelgeschwindigkeit_und_Drehimpuls" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischen Kreisel</a> begründet. Es sind C das axiale und A das äquatoriale Hauptträgheitsmoment des Kreisels.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lagrange-_und_Hamiltonfunktion_des_Kreisels">Lagrange- und Hamiltonfunktion des Kreisels</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Lagrange-Formalismus" title="Lagrange-Formalismus">Lagrange-Formalismus</a> und <a href="Hamiltonsche_Mechanik" title="Hamiltonsche Mechanik">Hamiltonsche Mechanik</a></div>

Die Lagrangefunktion des Kreisels ist die Differenz der <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> und der <a href="Lageenergie" class="mw-redirect" title="Lageenergie">Lageenergie</a>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}=E_{\mathrm {rot} }-E_{\mathrm {pot} }={\frac {L_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}-mg(s_{1}n_{1}+s_{2}n_{2}+s_{3}n_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/913593577997ee02d55a3cb01e100ca969e3c2ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:66.549ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}=E_{\mathrm {rot} }-E_{\mathrm {pot} }={\frac {L_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}-mg(s_{1}n_{1}+s_{2}n_{2}+s_{3}n_{3})}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist mg die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> und sind jeweils für k=1,2,3

<dl><dd>Θk die Hauptträgheitsmomente,</dd>

<dd>Lk die Drehimpulse,</dd>

<dd>nk die <a href="Richtungskosinus" title="Richtungskosinus">Richtungskosinus</a> des <a href="Lotrecht" class="mw-redirect" title="Lotrecht">lotrecht</a> nach oben weisenden Einheitsvektors und</dd>

<dd>sk die konstanten Koordinaten des Massenmittelpunkts</dd></dl>

im Hauptachsensystem.

Die Lagrangefunktion kann mit den <a href="Eulersche_Winkel" title="Eulersche Winkel">Euler- oder Kardan-Winkeln</a> ausgedrückt werden, deren zeitlicher Verlauf dann aus den Lagrangegleichungen resultieren.

Die Hamiltonfunktion H des Kreisels ist die Summe aus Rotations- und Lageenergie:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=E_{\mathrm {rot} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {L_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}+mg(s_{1}n_{1}+s_{2}n_{2}+s_{3}n_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c05e69fae03db3633b44da7624c5ad0b735bd863.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:67.009ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle H=E_{\mathrm {rot} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {L_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}+mg(s_{1}n_{1}+s_{2}n_{2}+s_{3}n_{3})}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a> können mit ihr und der <a href="Poisson-Klammer" title="Poisson-Klammer">Poisson-Klammer</a> {} ausgedrückt werden:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {L}}_{i}=\{L_{i},H\},\quad {\dot {n}}_{i}=\{n_{i},H\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9178a8d633698649e0bf00aa8b0ef308c159c82e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.552ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {L}}_{i}=\{L_{i},H\},\quad {\dot {n}}_{i}=\{n_{i},H\}}" loading="lazy"> für i = 1, 2, 3</dd></dl>

Diese Bewegungsgleichungen lassen sich auch in der Vektorform<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}=&M\times {\frac {\partial H}{\partial M}}+\gamma \times {\frac {\partial H}{\partial \gamma }}\\{\dot {\gamma }}=&\gamma \times {\frac {\partial H}{\partial M}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a845a368e92319a6daa86fafb66f92782483446a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:26.687ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}=&M\times {\frac {\partial H}{\partial M}}+\gamma \times {\frac {\partial H}{\partial \gamma }}\\{\dot {\gamma }}=&\gamma \times {\frac {\partial H}{\partial M}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

schreiben. Darin ist M der Koordinatenvektor des Drehimpulses und γ der Koordinatenvektor des Einheitsvektors in Richtung der Schwerebeschleunigung jeweils bezüglich des Hauptachsensystems.

Die Poisson Algebra e(3) dieser Variablen ist gegeben durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=-\varepsilon _{ijk}L_{k},\quad \{L_{i},n_{j}\}=-\varepsilon _{ijk}n_{k},\quad \{n_{i},n_{j}\}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4bc730f6f4ee0a09ad9b4bc59a545aa18cdbd89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:56.914ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=-\varepsilon _{ijk}L_{k},\quad \{L_{i},n_{j}\}=-\varepsilon _{ijk}n_{k},\quad \{n_{i},n_{j}\}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist εijk das <a href="Levi-Civita-Symbol" title="Levi-Civita-Symbol">Levi-Civita-Symbol</a>. Es gibt zwei Casimir Funktionen F1 = M · γ und F2 = γ², die bezüglich der Poisson-Klammer mit jeder Funktion von M und γ kommutieren und die auch gleichzeitig Integrale der Hamiltonfunktion sind.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

Schwere <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrische Kreisel</a>:

<ul><li><a href="Spielkreisel" title="Spielkreisel">Spielkreisel</a></li>

<li><a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">Lagrange-Kreisel</a></li>

<li><a href="Kowalewskaja-Kreisel" title="Kowalewskaja-Kreisel">Kowalewskaja-Kreisel</a></li>

<li><a href="Gorjatschew-Tschaplygin-Kreisel" title="Gorjatschew-Tschaplygin-Kreisel">Gorjatschew-Tschaplygin-Kreisel</a></li></ul>

Bewegungsformen schwerer <a href="Unsymmetrischer_Kreisel" title="Unsymmetrischer Kreisel">unsymmetrischer Kreisel</a>:

<ul><li><a href="Staude-Drehung" title="Staude-Drehung">Staude-Drehung</a></li>

<li><a href="Hesssches_Pendel" title="Hesssches Pendel">Hesssches Pendel</a></li>

<li><a href="Griolische_Pr%C3%A4zession" title="Griolische Präzession">Griolische Präzession</a></li>

<li><a href="Bobylew-Steklow-L%C3%B6sung" title="Bobylew-Steklow-Lösung">Bobylew-Steklow-Lösung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Magnus (1971), S. 105.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Magnus (1971), S. 109.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Magnus (1971), S. 51.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> S. Rauch-Wojciechowski, M. Sköldstam, T. Glad: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Mathematische Analyse des Stehaufkreisels</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Regular and Chaotic Dynamics</cite>. Band 10, Nr. 4. Springer Nature, 2005, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221468-4845%22&key=cql">1468-4845</a>, S. 335, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1070/RD2005v010n04ABEH000319">10.1070/RD2005v010n04ABEH000319</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.turpion.org/php/full/infoFT.phtml?journal_id=rd&paper_id=319&year_id=2005&volume_id=10&issue_id=4&fpage=333">turpion.org</a> [abgerufen am 15. Dezember 2018] Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Mathematical analysis of the tippe top</cite>.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schwerer+Kreisel&rft.atitle=Mathematische+Analyse+des+Stehaufkreisels&rft.au=S.+Rauch-Wojciechowski%2C+M.+Sk%C3%B6ldstam%2C+T.+Glad&rft.date=2005&rft.doi=10.1070%2FRD2005v010n04ABEH000319&rft.genre=journal&rft.issn=1468-4845&rft.issue=4&rft.jtitle=Regular+and+Chaotic+Dynamics&rft.pages=335&rft.pub=Springer+Nature&rft.volume=10" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Die <a href="Fr%C3%A9chet-Ableitung" title="Fréchet-Ableitung">Fréchet-Ableitung</a> einer skalaren Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\vec {v}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\vec {v}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c114b8bce4b17271e49b2fb2c459ee2ac074a8b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.263ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\vec {v}})}" loading="lazy"> nach einem Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy">

ist der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {A}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/391292ffadc65b0cde3e96f23afcdb811619dd95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}}" loading="lazy"> für den - sofern er existiert - gilt:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f({\vec {v}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {v}}+s{\vec {h}})-f({\vec {v}})}{s}}\quad \forall \;{\vec {h}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e44062fc26ec6e677cef726a089cb09d2706fe4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:54.156ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f({\vec {v}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {v}}+s{\vec {h}})-f({\vec {v}})}{s}}\quad \forall \;{\vec {h}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36efff902c6854b1196e79dec095b31e0c6a8ee9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.609ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und „·“ das <a href="Frobenius-Skalarprodukt" title="Frobenius-Skalarprodukt">Frobenius-Skalarprodukt</a>. Dann wird auch

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}={\vec {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e20b44e6fada7e9bcdc58c9dc9c97e616027e595.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.274ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}={\vec {A}}}" loading="lazy"></dd></dl>

geschrieben.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> A. V. Borisov, I. S. Mamaev: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Euler-Poisson-Gleichungen und integrable Fälle</cite>. 2001, S. 254, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1070/RD2001v006n03ABEH000176">10.1070/RD2001v006n03ABEH000176</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/nlin/0502030">nlin/0502030</a> (englisch, Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Euler-Poisson Equations and Integrable Cases</cite>. Enthält ausführliche Beschreibung von Lösungen der Euler-Poisson-Gleichungen und weiter führende Literaturangaben.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schwerer+Kreisel&rft.au=A.+V.+Borisov%2C+I.+S.+Mamaev&rft.btitle=Euler-Poisson-Gleichungen+und+integrable+F%C3%A4lle&rft.date=2001&rft.doi=10.1070%2FRD2001v006n03ABEH000176&rft.genre=book&rft.pages=254" style="display:none">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Kurt_Magnus_(Ingenieur)" title="Kurt Magnus (Ingenieur)">K. Magnus</a>: <cite style="font-style:italic">Kreisel: Theorie und Anwendungen</cite>. Springer, 1971, ISBN 978-3-642-52163-8, S. 105 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=tATNBgAAQBAJ&pg=PA105#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Februar 2019]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schwerer+Kreisel&rft.au=K.+Magnus&rft.btitle=Kreisel%3A+Theorie+und+Anwendungen&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.isbn=9783642521638&rft.pages=105+ff.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">R. Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Auflage. Band 1. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schwerer+Kreisel&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1950&rft.edition=2.+%C3%BCberarb.+Aufl.&rft.genre=book&rft.place=Berlin%2C+G%C3%B6ttingen%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer&rft.volume=Band+1" style="display:none"> </li>

<li>Eugene Leimanis: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Das allgemeine Problem der Bewegung von gekoppelten starren Körpern um einen festen Punkt</cite>. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1965, ISBN 978-3-642-88414-6, S. 7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-88412-2">10.1007/978-3-642-88412-2</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=s8rsCAAAQBAJ&pg=PA6#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Februar 2019] Originaltitel: <cite style="font-style:italic">The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point</cite>.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schwerer+Kreisel&rft.au=Eugene+Leimanis&rft.btitle=Das+allgemeine+Problem+der+Bewegung+von+gekoppelten+starren+K%C3%B6rpern+um+einen+festen+Punkt&rft.date=1965&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-88412-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783642884146&rft.pages=7&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-03-16" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Schwerer_Kreisel&oldid=243160124">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>